Logaritma: Pengertian dan Contoh Soal

Pengertian Logaritma

Sebelum memasuki pembahasan ke contoh soal logaritma, terlebih dahulu kita harus mengetahui pengertian dari logaritma. Logaritma adalah operasi invers dari perpangkatan, memiliki peran penting dalam matematika dan kehidupan sehari-hari. Dalam pembahasan ini, kita akan menjelaskan pengertian logaritma, persamaan logaritma, rumus logaritma, serta penerapannya dalam kehidupan sehari-hari. Mari kita simak dengan seksama untuk memahami konsep logaritma dan sifat-sifatnya. Setelah itu, kita akan membahas pertidaksamaan logaritma dan tabel logaritma. Dengan pemahaman yang baik tentang logaritma, kita dapat mengaplikasikannya dalam berbagai bidang, seperti perhitungan eksponensial, pengukuran kekuatan gempa, dan perhitungan astronomi. Mari kita mulai mempelajari logaritma dan manfaatnya dalam kehidupan kita sehari-hari.

Contoh Soal Logaritma Dasar

Ubahlah pangkat bilangan – bilangan di bawah ini menjadi bentuk logaritma

Pertama-tama, kita perlu memahami bahwa logaritma adalah kebalikan dari pangkat. Jadi, untuk mengubah pangkat menjadi bentuk logaritma, kita perlu mencari logaritma basis yang sesuai.

1. \(2^3 = 8\)

Untuk mengubahnya menjadi bentuk logaritma, kita perlu mencari logaritma basis 2 yang menghasilkan 8. Dalam hal ini, kita dapat menulisnya sebagai \(\log_2 8 = 3\).

2. \(10^2 = 100\)

Kita perlu mencari logaritma basis 10 yang menghasilkan 100. Dalam hal ini, kita dapat menulisnya sebagai \(\log_{10} 100 = 2\).

3. \(5^4 = 625\)

Kita perlu mencari logaritma basis 5 yang menghasilkan 625. Dalam hal ini, kita dapat menulisnya sebagai \(\log_5 625 = 4\).

Jadi, jawaban dari contoh soal di atas adalah:

1. \(\log_2 8 = 3\)

2. \(\log_{10} 100 = 2\)

3. \(\log_5 625 = 4\)

Dengan demikian, kita telah berhasil mengubah pangkat bilangan menjadi bentuk logaritma.

Contoh Soal Logaritma Lanjutan

Ubahlah pangkat bilangan 2 dengan hasil 8 menjadi bentuk logaritma

Cara

Kita dapat menggunakan rumus logaritma untuk mengubah pangkat menjadi bentuk logaritma. Rumus logaritma yang digunakan adalah sebagai berikut:

log_a(b) = c

Dimana a adalah basis logaritma, b adalah hasil pangkat, dan c adalah logaritma dari b dengan basis a.

Jawaban

Dalam kasus ini, kita ingin mengubah pangkat bilangan 2 dengan hasil 8 menjadi bentuk logaritma. Kita dapat menuliskan rumus logaritma sebagai berikut:

log_2(8) = c

Untuk mencari nilai c, kita perlu mencari basis logaritma yang ketika dipangkatkan dengan c akan menghasilkan 8. Dalam hal ini, basis logaritma yang memenuhi adalah 2. Sehingga, jawaban dari soal ini adalah:

log_2(8) = 3

Jadi, pangkat bilangan 2 dengan hasil 8 dapat ditulis dalam bentuk logaritma sebagai logaritma basis 2 dari 8 adalah 3.

Contoh Soal 2

Ubahlah pangkat bilangan 10 dengan hasil 100 menjadi bentuk logaritma.

Cara

Kita dapat menggunakan rumus logaritma untuk mengubah pangkat menjadi bentuk logaritma. Rumus logaritma yang digunakan adalah sebagai berikut:

log_a(b) = c

Dimana a adalah basis logaritma, b adalah hasil pangkat, dan c adalah logaritma dari b dengan basis a.

Jawaban

Dalam kasus ini, kita ingin mengubah pangkat bilangan 10 dengan hasil 100 menjadi bentuk logaritma. Kita dapat menuliskan rumus logaritma sebagai berikut:

log_10(100) = c

Untuk mencari nilai c, kita perlu mencari basis logaritma yang ketika dipangkatkan dengan c akan menghasilkan 100. Dalam hal ini, basis logaritma yang memenuhi adalah 10. Sehingga, jawaban dari soal ini adalah:

log_10(100) = 2

Jadi, pangkat bilangan 10 dengan hasil 100 dapat ditulis dalam bentuk logaritma sebagai logaritma basis 10 dari 100 adalah 2.

Contoh Soal Logaritma Pemecahan Persamaan

Contoh Soal

Pecahkan persamaan logaritma berikut ini:

\( \log_2 (x+3) + \log_2 (x-1) = 3 \)

Cara Pemecahan

Langkah 1: Gabungkan kedua logaritma menjadi satu logaritma dengan menggunakan sifat logaritma penjumlahan.

\( \log_2 [(x+3)(x-1)] = 3 \)

Langkah 2: Hilangkan logaritma dengan menggunakan sifat logaritma invers.

\( 2^3 = (x+3)(x-1) \)

Langkah 3: Verifikasi persamaan kuadrat.

\( 8 = x^2 + 2x – 3 \)

Langkah 4: Ubah persamaan menjadi bentuk kuadrat.

\( x^2 + 2x – 11 = 0 \)

Langkah 5: Pecahkan persamaan kuadrat menggunakan faktorisasi atau rumus kuadrat.

\( (x+4)(x-2) = 0 \)

Langkah 6: Tentukan nilai-nilai x yang memenuhi persamaan.

\( x = -4 \) atau \( x = 2 \)

Jawaban

Nilai x yang memenuhi persamaan logaritma tersebut adalah \( x = -4 \) atau \( x = 2 \).

Contoh Soal Logaritma Penerapan dalam Masalah

Contoh Soal

Sebuah bak mandi berisi air dengan tinggi 2 meter. Setiap jam, air dalam bak tersebut mengalir keluar sebanyak 500 liter. Jika kita ingin mengetahui berapa lama waktu yang dibutuhkan agar air dalam bak mandi tinggal setinggi 1 meter, bagaimana cara menggunakan logaritma untuk menyelesaikan masalah ini?

Cara Penerapan Logaritma dalam Masalah

1. Langkah pertama adalah mengidentifikasi variabel yang terlibat dalam masalah ini. Dalam kasus ini, variabel yang terlibat adalah tinggi air dalam bak mandi (h), volume air yang keluar per jam (v), dan waktu yang dibutuhkan (t).

2. Selanjutnya, kita perlu mencari hubungan antara variabel-variabel tersebut. Dalam hal ini, hubungan antara tinggi air, volume air yang keluar, dan waktu dapat dinyatakan dengan persamaan berikut: v * t = h.

3. Karena kita ingin mengetahui berapa lama waktu yang dibutuhkan agar tinggi air dalam bak mandi tinggal setinggi 1 meter, kita dapat menuliskan persamaan tersebut sebagai: 500 * t = 1.

4. Selanjutnya, kita dapat menggunakan logaritma untuk menyelesaikan persamaan tersebut. Kita akan menggunakan logaritma basis 10 untuk mempermudah perhitungan. Maka, persamaan tersebut dapat dituliskan dalam bentuk logaritma sebagai: log10(500 * t) = log10(1).

5. Dalam hal ini, kita dapat menggunakan sifat logaritma yaitu log(a * b) = log(a) + log(b). Maka, persamaan tersebut dapat disederhanakan menjadi: log10(500) + log10(t) = log10(1).

6. Karena log10(1) = 0, maka persamaan tersebut dapat disederhanakan menjadi: log10(500) + log10(t) = 0.

7. Selanjutnya, kita dapat mencari nilai log10(500) menggunakan kalkulator atau tabel logaritma. Misalkan log10(500) = x.

8. Dengan menggantikan nilai log10(500) dengan x, persamaan tersebut menjadi: x + log10(t) = 0.

9. Kita ingin mencari nilai t, maka kita perlu menyederhanakan persamaan tersebut menjadi: log10(t) = -x.

10. Terakhir, kita dapat mengubah persamaan tersebut menjadi bentuk eksponensial untuk mencari nilai t. Maka, t = 10^(-x).

Jawaban

Dalam kasus ini, jika log10(500) = x, maka t = 10^(-x). Kita dapat menggunakan kalkulator untuk menghitung nilai x dan kemudian menggantinya ke dalam rumus t = 10^(-x) untuk mendapatkan nilai t yang akurat.